Denne avhandlingen fokuserer på presentasjonen av de grunnleggende aspektene ved moderne porteføljeteori, og vurderer nytte teori som grunnleggende som en teoretisk støtte for oppnådde resultater.
Dette dokumentet er delt inn i fem deler. Den første av dem refererer til de grunnleggende konseptene som er til stede i porteføljeinvesteringer uten å fordype seg i matematiske aspekter. Videre er begrunnelsen for å studere disse emnene gitt ved å presentere relevante aspekter av det virkelige liv i markedene. Den andre delen omhandler nytte teori der forventet nytte vises som et middel til å velge mellom tilfeldige alternativer. Den tredje delen er viet til analyse av risiko, avkastning og korrelasjon som sentrale komponenter i en investeringsportefølje. Den fjerde delen undersøker arten av den effektive grensen gjennom to-fonds- og enfonds-setningene. I den femte delen er CAPM for hele økonomien avledet og anvendelsen av beta for å bestemme kapitalkostnadene.
For å tydeliggjøre noen av konseptene i denne presentasjonen ble det utformet et vedlegg til normal distribusjon og markedsdefinisjoner.
grunnleggende-sider-of-moderne-portefølje-teori1 INNLEDNING TIL Nøkkelkonsepter
Investeringen
Investering refererer til bruk av ressurser i produksjonen av tilfredsstillende for å oppnå potensiell fortjeneste i fremtiden. Investeringen kan gjøres i to fasetter i nasjonaløkonomien eller i utlandet:
1. Direkte. Det utføres i materielle eiendeler som maskiner og immaterielle eiendeler som utdanning. Denne investeringen er generelt langsiktig gitt den lave likviditeten den gir.
2. Indirekte eller porteføljeinvesteringer. Henviser til kjøp av finansielle instrumenter som aksjer. Generelt kort sikt gitt eksistensen av sekundære markeder som gir likviditet til finansielle eiendeler.
I denne presentasjonen vil det være den andre typen investering, men før du går inn i studiet av investeringsporteføljer, må elementene i definisjonen av investering være oppdelt:
o Produksjon av fornøyelser
o Usikker inntjening
Produksjon av tilfredsstillende investeringer
Bruk av ressurser til å produsere varer og / eller tjenester som ikke tilfredsstiller noe behov, er umulig fordi ingen ønsker å kjøpe dem.
Saken til en kommune som utsteder gjeld for bygging av en bro viser behovet for å skape rikdom for innbyggerne og transportører som trenger bedre kommunikasjonskanaler. På den annen side er det eierne av de kommunale obligasjonene som gir de økonomiske ressursene.
Usikre gevinster
Investeringer er ikke trygge, selv ikke de som er gjort i regjeringspapirer, da de er utsatt for markeds-, kreditt- og operasjonell risiko. Risikoen for en investering bestemmer lønnsomheten som tilbys av den, avhengig av mulighetskostnaden. Dermed, jo høyere risiko, jo høyere avkastning.
Når investeringskonseptet er forstått, er neste trinn å analysere egnetheten til en investering fremfor en annen. I direkte investeringer er det teknikker for å evaluere investeringsprosjekter, mens i porteføljeinvesteringer er det en aksjemarkedsanalyse, og det er den moderne porteføljeteorien som er temaet for denne utstillingen.
Investeringsportefølje i en første definisjon.
Det er et sett med minst to finansielle instrumenter som det har blitt investert samtidig.
De finansielle instrumentene som en portefølje kan opprettes med er varierte og kan komme fra følgende markeder:
• Pengemarked
• Kapitalmarked •
Derivatmarked • Valutamarked • Varemarked
Porteføljer har sin raison d'être i ideen om diversifisering som letter reduksjon av risiko og næring i ytelse.
Diversifisering. Følgende eksempel gir en intuitiv idé om hva det vil si å diversifisere.
Vertshuset
Lemonade tilbys spisesteder i et lite vertshus. På varme dager øker limonader inntektene, men på kjølige dager reduserer folk forbruket av kald drikke, slik at de føler en nedgang i salget. Hvis eieren av vertshuset introduserer litt kaffe i menyen, kan limonade, når dagene er varme, tilbys, mens det på kalde dager kan tilbys kaffe, og dermed redusere muligheten for tap.
I dette tilfellet fører produktdiversifisering til erstatning for tap i limonade gjennom kaffesalg på kjølige dager. Når dagene er varme, vil salget av kaffe avta, men salget av sitronader vil øke, så i begge tilfeller reduseres muligheten for tap.
Diversifisering finner sitt opphav i bullseye-teorien som ble utviklet av Alfred Cowles på 1920-tallet. Ideen med denne teorien indikerer at det er å foretrekke å kjøpe alt som er i aksjemarkedet for å danne en diversifisert portefølje. Cowles konkluderte med at den diversifiserte porteføljen i gjennomsnitt er bedre enn å følge de beste investeringsstrategiene til aksjemeglere på grunn av provisjonsinnbetalinger.
Senere ble Cowles 'ide fullkommen gjennom den moderne porteføljeteorien initiert av Markowitz. Ikke glem den klassiske diversifiseringsfrasen "ikke legg alle eggene i en kurv" på grunn av Tobin.
Nøkkelen til diversifisering ligger i avhengigheten mellom instrumentene som utgjør en portefølje. Slike avhengighetsforhold estimeres med korrelasjonen. Jo lavere eiendelskorrelasjon, desto mer diversifisert vil porteføljen være.
Utbytte og risiko. Når du velger mellom to porteføljer, er de viktigste indikatorene risikoen og avkastningen de gir.
Yield viser vekst i porteføljeverdi. Det må skilles mellom realisert ytelse og forventet ytelse. Den første refererer til ytelsen som porteføljen faktisk hadde, mens den andre er et estimat for den fremtidige ytelsen til porteføljen.
Risiko er ofte definert som muligheten for tap og kan knyttes til et synkende marked, men selv i dette scenariet er det mulig å oppnå gevinster gjennom korte posisjoner. Derfor, for disse merknadene, indikerer risiko spredningen av avkastningen som er gjort med forventet avkastning.
Både avkastning og risiko har forskjellige estimeringsmetoder som glidende gjennomsnitt for ytelse og GARCH-modeller for volatilitet. Imidlertid bruker dette materialet bare gjennomsnittlig avkastning og standardavvik som estimater for henholdsvis avkastning og risiko.
Investorinvesteringer
I finansmarkeder er det forskjellige typer investorer, men en første klassifisering vurderer to klasser: individuelle og institusjonelle. Imidlertid er behovet for å investere og forholdene investoren er i, faktorene som bestemmer investeringstypene.
banker
Den samme finansinstitusjonen kan ha forskjellige porteføljer basert på ledelsespolitikk. I en finansinstitusjon kan du således finne en handelsportefølje som består av likvide instrumenter for å rebalansere (endre sammensetningen av porteføljen) ofte og et pensjonsfond som består av langsiktige instrumenter med mindre likviditet, men som gir muligheten for utnytte visse regulatoriske voldgift. Regulerende voldgift (bare gjeldende for flere banker) består i å investere i instrumenter som reguleringsorganer ber om regulerende kapital som er mindre enn økonomisk kapital.
Forsikring
Forsikringsinstitusjoner må investere reserver fordi det er ressursene krav blir svart på. Rundskriv S-11.2 fra National Commission of Insurance and Bonds fastslår kjennetegn ved investeringene som et forsikringsselskap kan delta i. Dette rundskrivet angir investeringsgrenser basert på type eiendeler og reserveklassen som vist i tabell 1 og 2.
Gjeldende pensjonssystem i Mexico
Tabell 1. Begrensninger i reguleringens myndigheters investering i reserver.
Type verdi Prosentandel av porteføljen
Verdipapirer utstedt eller støttet av den føderale regjeringen Opp til 100%
Verdipapirer utstedt eller støttet av kredittinstitusjoner Opp til 60%
Eventuelle andre investeringer enn de ovennevnte Opp til 30%
Kilde: National Commission of Insurance and Bonds
Tabell 2. Likviditetsbegrensninger på reserveinvesteringer.
Reserve Minimum prosentandel av kortsiktige investeringer
OPC 100
IBNR 75 Løpende
risiko 50
Matematikk 30
Prognoser 30
Beredskapsspesial 30
Katastrofale risikoer 20
Kilde: National Commission of Insurance and Bonds
Dette er bare forenklede eksempler på virkelighet i finansmarkedene. Modellene som vises i dette materialet er bare begynnelsen på den lange læringsprosessen som må følges av de som har tenkt å engasjere seg i finansmarkedene.
2 TEORI OM UTILITET
Avgjørelsen i møte med usikre alternativer er modellert gjennom teorien om nytte, som presenteres på en begrenset måte, men uten å trekke fra nøkkelelementene for å forstå valg av portefølje. I de følgende avsnitt vises aksiomene til bruksteori, så vel som avledningen av forventet nytteverktøy som verktøyet for valg før tilfeldige alternativer. Deretter diskuteres temaene stokastisk dominans, risikoaversjon og middelvariasjonskriteriet. Illustrasjon 1 viser løpet av denne innholdsblokken.
Illustrasjon 1. Teoretisk støtte for valg av investeringsporteføljer.
Det forventede verdikriteriet for å verdsette usikre alternativer.
Inntil før 1930-tallet ble folk vurdert å bestemme seg for usikre alternativer basert på kriteriet for forventet verdi. Ugyldigheten av nevnte kriterium er eksemplifisert nedenfor:
Anta at en person har følgende alternativer:
1. En lodd som tildeler 2000 valutaenheter (CU) med 5% sjanse og du mister CU2 med 95% sjanse. Representasjonen av denne innsatsen er:
⎧2000 0,05
G = ⎨ E = 2000 * 0,05 + (- 2) * 0,95 = 98,1
2− 2 0,95
2. H-investeringen på CU100 på en bankkonto som trygt betaler 1% rente.
E = 101
3. Et spill M som består av en rettferdig myntkast som stopper ved første utseende på fronten og i dette tilfellet betaler andre valutaenheter der r er antall kast til spillet stopper. Verdien av sannsynligheten for det første kastet er 2-r, så håpet for dette spillet er
E
= 1
Under kriteriet for forventet verdi er det tredje alternativet det riktige valget. Å ha en uendelig forventet premie, men kostnadene ved å delta i et slikt spill er imidlertid også uendelig, så ingen ønsker å delta i det. Spill M er bedre kjent som St. Petersburg Paradox.
Inkonsekvensen av dette kriteriet løses med ideen om det forventede verktøyet som i de følgende avsnitt er konstruert fra aksiomer.
Axioms of Utility Theory
Før du presenterer aksiomene til den aktuelle teorien, er en forståelse av ideen om lotteri uunnværlig. Et lotteri er et spill der forskjellige innbyrdes eksklusive premier med tilhørende odds oppnås og har følgende uttrykk:
⎧x1 p1
G (x1, x2,.., xn: p1, p2,.., pn) = ⎪⎪⎨x2 p2
⎪
⎪⎩xn pn
der premie xi har sannsynlighet pi. Dette enkle lotteriuttrykket kan forkortes ved å gruppere premier og sannsynligheter i vektorer x = (x1, x2,…, xn) og p = (p1, p2,…, pn) så G (x: p) er enklere notasjon.
Det er også sammensatte lotterier som
⎧ G1 (x: q) p
G (G1, G2: p) = ⎨ hvor hver premie er et lotteri.
⎩G2 (y: r) 1− p
Eksempler. La to enkle lotterier være G1 (x: q), G2 (x: r) og la G (G1, G2: p) være et sammensatt lotteri. Lotteriene er slik at x = (2,4,6) q = (0,5,0,3,0,2) og = (6,8) r = (0,6,0,4).
⎧2 0,5
G1 (2,4,6: 0,5,0,3,0,2) = ⎪⎨4 0,3 G2 (6,8: 0,6,0,4) = ⎧⎨6 0,6 G = ⎨⎧G1 0,5
⎪⎩6 0,2 ⎩8 0,4 ⎩G2 0,5
G-lotteriet kan reduseres til et enkelt lotteri ved å bli forstått som en lineær kombinasjon av lotterier. Det vil si G = 0.5G1 + 0.5G2, så det har følgende enkle form:
⎧2 p = 0,25
⎪4 p = 0,15
G = ⎪⎨
⎪6 p = 0,40
⎪⎩8 p = 0,20
Legg merke til at prisverdien på 6 tilbys i G1- og G2-lotteriene, så sannsynligheten for dette er 0,5 (0,2) +0,5 (0,6). Oddsen for de andre premiene blir beregnet analogt.
aksiomer
Nå som ideen om lotteri er mestret, kan de fem aksiomene i bruksteori presenteres.
La Γ være settet med lotterier som angår et individ og la det avgrensede settet X være settet med mulige, ikke-negative utfall for alle lotterier.
Aksiom 1. Fullstendighet. For alle x, y ∈ X kan agenten utføre en av følgende situasjoner:
• foretrekker øks over y betegnet y x
• foretrekker ay fremfor x betegnet x y
• er likegyldig mellom de to (y ≈ x)
Axiom 2. Transitivitet Det oppstår med følgende situasjoner for x, y, z ∈ X:
• x y ∧ y z ⇒ x z
• x ≈ y ∧ y ≈ z ⇒ x ≈ z
Aksiom 3. Sterk uavhengighet. La x, y, z ∈ X og G1, G2 ∈Γ. Dette aksiomet indikerer at:
x ≈ y ⇒ G1 (x, z: p) ≈ G2 (y, z: p).
Aksiom 4. Målbarhet. La x, y, z ∈ X og G∈Γ. Aksiomet indikerer det
x yz∨ xy z ⇒∃! p slik at y ≈ G (x, z: p).
Aksiom 5. Eksamen. La fire resultater være x, y, u, z ∈ X
Forutsatt at (xyz) ∧ (xuz) er det av axiom 4 at det er lotterier G1, G2 ∈Γ slik at y ≈ G1 (x, z: p) Yu ≈ G1 (x, z: q).
Dette aksiomet indikerer følgende: Hvis q ≤ p ⇒ uy.
Teori om forventet nytteverdi
Det kreves ytterligere to forutsetninger for å utvikle den forventede nytte teorien:
1. Enkeltpersoner foretrekker alltid mer rikdom
2. For den enkelte kan gunstige avvik fra den gjennomsnittlige formuen ikke kompensere for ugunstige avvik fra den gjennomsnittlige formuen.
Antagelse 1 indikerer den logiske tilstanden til individer som alltid ønsker større velvære. Antagelse 2 beskriver at det er aversjon mot risiko fordi uansett hvor høy premien muligheten for et stort tap hindrer individer fra usikre hendelser. Med disse antagelsene og de fem skrevne aksiomene er utviklingen av teorien levedyktig.
Nyttefunksjon.
Det er en skalarfunksjon som er definert i settet med resultater X slik at den representerer preferansegradene for de forskjellige resultatene som faktisk representerer nivåer av rikdom. I matematisk form har nyttefunksjonen følgende form:
U: X → ℜ
x → U (x)
Funksjonsverdien U (x) er uten betydning siden det som betyr noe er bevaring av ordenen (X, ) til rekkefølgen på de reelle tallene, så økende transformasjoner som krefter eller relaterte transformasjoner V (x) = aU (x) + b med en> 0. For å eksemplifisere denne situasjonen, bør du vurdere tre alternativer: pærer, epler og appelsiner. I tillegg er det en person med følgende preferanser på frukt:
Eple oransje pære
Nyttighetsfunksjonen til den enkelte er
U (eple) = 12
U (oransje) = 16 U (pære) = 20
Merk at vi nå har reelle tall som kan sammenlignes, og det er klart det
U (eple) <U (oransje) <U (pære) = 20
Verdiene som en nyttefunksjon tar er uten betydning, siden det som er viktig er at de bevarer rekkefølgen av preferanser ved hjelp av rekkefølgen på de reelle tallene. På denne måten tilsvarer den affine transformasjonen 2 * U (x) +3 funksjonen U (x) siden den bevarer den innledende rekkefølgen.
Teorem. For alle x, y ∈ X må verktøyfunksjonen respektere rekkefølgen av preferanser som følger:
U (x)> U (y) ⇒ x y
U (x)
Demonstrasjon
Siden X er et avgrenset sett, kalles elementet xI = inf (X) helvete x og er det dårligste resultatet; den maksimale xP = sup (X) er kjent som paradis x og er det beste resultatet.
For alle x, y ∈ X har vi xP xxI ∨ xP x xI og xP yxI ∨ xP y xI
Basert på aksiom 4 er det ekvivalensene
x≈G1 (xI, xP: p (x)) og y≈G2 (xI, xP: q (y)).
Hvis U (x) = p (x) og U (y) = q (y), må vi ved aksiom 5:
o U (x)> U (y) ⇒ x og U (x)
Teorem om det forventede verktøyet. Nyttefunksjonen brukes til å sammenligne tilfeldige alternativer gjennom det forventede verktøyet.
Demonstrasjon
La x, y, z ∈ X. Med utgangspunkt i de forrige ekvivalensene x≈G1 (xI, xP: p (x)) og y≈G2 (xI, xP: q (y)), er et sammensatt lotteri konstruert slik at z≈G (G1, G2: r) som viser.
⎧ ⎧xP p (x)
⎪ x ≈⎨ r (z) z ≈⎪⎨ ⎩xI 1- p (x)
⎪y ≈⎧⎨xP q (y) 1- r (z)
⎪⎩ ⎩xI 1- q (og)
Deretter z≈G (xP, xI: r (z) p (x) + (1-r (z)) q (x)) og det huskes at U (x) = p (x) og
U (y) = q (y) slik at U (z) = r (z) U (x) + (1-r (z)) U (y) som forstås som
forventet fortjeneste.
Mer generelt er forventet nytteverdi av fremtidig formue E = ∑U (xi) pi.
Løsning av St. Petersburg-paradokset
Det forventede brukssteorem løser St. Petersburg-paradokset ved å finne en endelig verdi.
E
r = 1
Funksjoner av verktøyfunksjonen
Individenes preferanse for større formue basert på antagelse 1 innebærer en økende nyttefunksjon. Denne betingelsen tilsvarer at derivatet av en nyttefunksjon, kjent som marginell nytteverdi, er positiv U (x) /> 0.
Antagelse 2 betyr at individet er risikovillig, slik at marginalnyttigheten avtar, det vil si U (x) // <0, og denne tilstanden tilsvarer en konkav nyttefunksjon.
Eksempler. Nyttefunksjonen U (x) = x øker og er konkav siden U / (x) = 1> 0 og U // (x) = - 1 x− <0.
2 x 4
Illustrasjon 2 Kjennetegn på rotfunksjonsfunksjonen med synkende derivat.
Imidlertid kan den kvadratiske nyttefunksjonen U (x) = ax2 + bx + c være konkave og øke, avhengig av parametrene a, b og c.
Forutsatt at funksjonen øker, må det tas i betraktning at når trivselsnivået skrider frem, oppnås et bøyningspunkt der det første derivatet endrer seg, slik at nyttefunksjonen bare øker og er konkave i intervallet
⎡ ⎢⎣0, - 2ba⎤⎥⎦ mens for verdier større enn - 2ba foretrekker individet
mindre og mindre rikdom.
Nyttefunksjoner gir det matematiske verktøyet for beslutninger i møte med tilfeldige alternativer som avkastningen på aksjer i en portefølje. I emnet som er dekket i dette dokumentet, velger en rasjonell investor alltid for porteføljen med høyest forventet fortjeneste.
Inntekter og avkastning fordelt som normalt.
Fram til dette ble ideen om en nyttefunksjon presentert som representasjon av individets preferanser. En slik funksjon ble antatt å øke U (x) /> 0 og konkave U (x) // <0.
I tillegg er det gitt eksempler på nyttefunksjoner som rot- og kvadratiske funksjoner, men porteføljevalg skal ikke være begrenset til en familie med nyttefunksjoner, derfor er følgende antagelse nødvendig:
Kurs. Nyttighetsfunksjonen kan tilnærmes med et Taylor-polynom.
Hvis x0 er et punkt i domenet til en nyttefunksjon U (x), vil
UU k (x0) (x - x0) k
k = 0 k!
La w være en tilfeldig variabel med håp μ <∞ og varians σ2 <∞ slik at den representerer den fremtidige fordelen med en investering.
U k (µ) k
Hvis U (w −µ) er gjort, for å bestemme verktøyet
k = 0 k!
forventet E = ∑k∞ = 0 U kk (! µ) E alle de
sentrale momentene for den tilfeldige variabelen w må være kjent. Denne situasjonen unngås når nyttefunksjonen er kvadratisk, fordi ordenderivater større enn eller lik tre avbryter. Dessverre kan ikke denne funksjonen tilordnes alle investorer, så det er å foretrekke å anta at w ~ N (µ, σ), siden alle øyeblikkene til denne tilfeldige variabelen er hentet fra de to første som vist i vedlegget..
Under forutsetning av normalitet for w, er det ikke nødvendig med ytterligere forutsetninger for nyttefunksjonen, og ber bare om at den blir tilnærmet av et Taylor-polynom i tillegg til at det er konkave og økende.
Risikoaversjon
Konkaviteten til en nyttefunksjon er et symptom på investorens risikoaversjon, men mer informasjon om risikomengden som en investor er villig til å tolerere, kan fås gjennom følgende tiltak:
• Pil-pratt-koeffisient A (x)
• Risikoaversjon R (x)
Tidligere avledning av slike tiltak, begrepet ekte ekvivalent må være kjent.
Tilsvarende sant.
Den ekte ekvivalent av et usikkert formuesnivå er et visst beløp slik at nytten av det andre er lik den forventede nytten av den første.
I matematiske termer er verdien av C en ekte ekvivalent av nivået på formuen x når U (C) = E eller eksplisitt C = U −1 (E).
For å illustrere, bør du vurdere en investor med en nyttefunksjon
U (x) = −e - x, en nåværende formue på 10 og en ny formue x = 10 + G slik at
⎧ 1
G = ⎪⎨− 5 med p = 12
⎪ 5 med p =
⎩ 2
Da er E¨ = - 1 = −0.003369 så den ekte ekvivalent 2
er C = -ln (- (- 0.003369)) = 5.6931 og U (C) = 0.003369.
Derfor er investoren likegyldig mellom 5,69 visse monetære enheter og det nye formuesnivået. Forskjellen mellom dagens trivselsnivå og ekte ekvivalent 10-5.6931 = 4.3069 forstås som en forsikringspremie som investoren vil betale for ikke å møte G-lotteriet.
Denne forskjellen er et mål på absolutt risikoaversjon og dens utvikling er som følger:
Arrow-Pratt absolutt risikoaversjonskoeffisient.
Tenk på en investor med en nyttefunksjon U (x) slik at x er det opprinnelige formuesnivået og et endelig formuesnivå x + ε der ε er en tilfeldig variabel med varians σε2 som representerer et rettferdig spill så E = 0.
Med disse dataene ønsker vi å beregne premien Π som investoren vil betale for ikke å møte usikkerheten om det endelige formueforholdet.
La C være den ekte ekvivalent av x + ε, det vil si at U (C) = E. For å finne et analytisk uttrykk for primet Π foretas en Taylor-tilnærming til andre nivå rundt nivået av x for U (x + ε).
U (x + ε) = U (x) + U / (x) (x + ε− x) + U // (x) (x + ε− x) 2
Ta håpet om denne tilnærmingen og husk at x er en gitt verdi
E = U (x) + U / (x) E + U // (x) E = U (x) + U // (x) σε2
Hvis vi husker at premien er forskjellen mellom dagens formuesnivå og ekte ekvivalent, har vi følgende uttrykk:
Π = x −C ⇒ C = x −Π⇒U (C) = U (x −Π)
Å utføre en førsteordens Taylor-tilnærming rundt x gir:
U (x −Π) = U (x) + U / (x) (x −Π - x)
Siden C er et ekte ekvivalent, så er U (x −Π) = E, så når vi sammenligner tilnærmelsene har vi:
/// 2/1 2 //
U (x) + U (x) (- Π) = U (x) + U (x) σε ⇒ - ΠU (x) = σεU (x) ⇒
2
//
1 2 U (x) Π = - σε /
2 U (x)
Denne
primen Π er kjent som Arrow-Pratt prim, og siden 1σε2 er konstant, blir definisjonen av aversjonskoeffisienten ved 2
U // (x) Arrow-Pratt-risikoen A (x) = - / laget.
U (x)
Derivatet av koeffisienten tas for å analysere risikoaversjonen til et individ. Hvis derivatet er positivt, er personen villig til å fordele flere ressurser til risikable investeringer. Når derivatet er negativt, er det risikoaversjon, noe som betyr at mindre og mindre ressurser vil bli avsatt til risikable investeringer, og hvis derivatet er null, opprettholdes det samme antall monetære enheter i risikable investeringer.
Risikoaversjonskoeffisient
Risikoaversjon indikerer prosentandelen av formuen som ville ofres for ikke å delta i et lotteri.
Som i forrige tilfelle indikerer et positivt derivat at personen øker andelen formue som er beregnet på risikable investeringer. Hvis derivatet er negativt, er det risikoaversjon, en lavere prosentandel av formue blir allokert til risikable investeringer, og hvis derivatet er null, opprettholdes samme prosentandel av monetære enheter i risikable investeringer. Analogt med Arrow-Pratt-koeffisienten
oppnås koeffisienten xU // (x) i forhold til risikoaversjon R (x) = - /.
U (x)
Eksempel: Analyser en person med en verktøyfunksjon U (x) = x. For definisjon av koeffisientene er de to første derivater med hensyn til formue påkrevd.
U / (x) = 1> 0 og U // (x) = - 1 x− <0. A (x) = −U // (x) = 1 ⇒ A / (x) = - 12 <0
2 x 4 U (x) 2x 2x xU // (x) 1 /
R (x) = - = ⇒ R (x) = 0 U (x) 2
Det observeres at derivatet av absolutt risikoaversjonskoeffisient er negativt, slik at den enkelte vil investere mer ressurser i risikable eiendeler. Den relative aversjonen mot risiko er konstant, så individet vil alltid investere den samme prosentandelen i risikable eiendeler. Figur 3 viser oppførselen til begge koeffisientene.
RISIKOAVERSJON
Figur 3. Risikoaversjonskoeffisienter for kvadratrotverktøyets funksjon.
Stokastisk dominans
Hvis målet er å velge mellom forskjellige porteføljer basert på risiko- og resultatindikatorer, må definisjonen av stokastisk dominans gjøres for å etablere beslutningskriteriene. For denne seksjonen er A og B to forskjellige eiendeler, RA og RB er avkastningen og har distribusjonsfunksjoner henholdsvis FRA (x) og FRB (x).
Førstegangs stokastisk dominans. Eiendom A dominerer eiendel B i denne forstand når FRA (x) ≤ FRB (x).
For å forstå denne definisjonen kreves det noen få matematiske operasjoner som vist:
FRA (x) ≤ FRB (x) ⇔ −FRB (x) ≤ −FRA (x) ⇔1− FRB (x) ≤1− FRA (x) ⇔ P {RA ≥ x} ≥ P {RB ≥ x}
Med andre ord er sannsynligheten for å oppnå høyere avkastning større med eiendel A enn med eiendel B.
Andenordens stokastiske dominans. Eiendom A dominerer i
denne forstand tt eiendel B når FRB (x) dx.
Denne definisjonen forutsetter risikoaversjon fra investorens side og betyr at eiendel A vil bli foretrukket fordi den akkumulerer mindre sannsynlighet i venstre hale, noe som er minst ugunstig uansett avståelse for bedre avkastning.
For å lande disse stokastiske dominansideene, er fordelingen av tre normale tilfeldige variabler med forskjellige parametere vist nedenfor.
Normal fordeling Gjennomsnitt Standardavvik
F1 0,1 0,17
F2 0,2 0,17
F3 0,21 0,3
Tabell 3. Normale fordelinger og stokastisk dominans.
Illustrasjon 4. Stokastisk dominans.
Figur 4 viser at F2 dominerer F1 i første rekkefølge, mens F3 er dominert av F2 i andre rekkefølge, siden det akkumuleres mindre sannsynlighet i venstre hale til tross for at det har et lavere gjennomsnitt enn F3 og dette viser risikoaversjon.
Stokastisk dominans og nyttefunksjon.
Første ordens stokastisk dominans med forventet nytteverdi. Eiendom A sies å dominere eiendel B i denne forstand når
E ≥ E og U /> 0.
Andre orden stokastisk dominans med forventet nytteverdi. Eiendom A dominerer eiendel B i denne forstand når E ≥ E og U // <0.
Stokastisk dominans med forventet nytteverdi. Hvis vi vurderer at
U /> 0 og U // <0, dominerer eiendel A eiendel B når E ≥ E.
Denne sistnevnte definisjonen av stokastisk dominans og antakelsen om avkastning med normalfordeling fører til dominansekriterier kjent som middelvarians.
Gjennomsnitt og avvikskriterier for stokastisk dominans.
La RA ~ N (µA, σA), RB ~ N (µB, σB), Y ~ N (µ, σ) med U /> 0 og U // <0 og la y0 være det opprinnelige formuesnivået. Da er følgende dominanskriterier gyldige.
Førstegangs stokastisk dominans. Eiendom A dominerer eiendel B når µA ≥ µB og σA = σB.
Demonstrasjon.
Y = σZ + µ med Z ~ N (0,1)
Det fremtidige formuesnivået er y0 (1 + σZ + µ) med forventet fortjeneste
E.
Ved å ta det partielle derivatet av denne forventningen med hensyn til lokaliseringsparameteren µ, observeres det at det er positivt, så det forventede verktøyet øker med hensyn til gjennomsnittet av normal avkastning og den nye definisjonen av stokastisk dominans av første orden opprettholdes.
e
Edz
2π
∂E / e dz> 0 siden U /> 0.
2π
Med dette resultatet har vi følgende regel:
Gitt et risikonivå, velg eiendelen eller porteføljen med høyest avkastning.
Andre orden stokastisk dominans. Eiendom A dominerer eiendel B når σA ≤σB og µA = µB. Bevis for denne uttalelsen følger den samme trenden som den forrige, men konkaviteten til nyttefunksjonen brukes. Demonstrasjon.
∂E e
= ∫U (y (1 + σz + µ)) zy dz + ∫U (y (1 + σz + µ)) zy dz
∂σ −∞ 0 0 2π 0 0 0 2π
∞ / e ∞ / e
dzdz 2π2π
Siden U // <0 og U er en økende funksjon, har vi at det delvise deriverte av det forventede verktøyet med hensyn til standardavviket er negativt, så den lavere flyktigheten påvirkes i mindre grad
av verktøyet.
Da betyr risikoaversjon U // <0 følgende regel:
Gitt et prestasjonsnivå, velg den laveste risikovurderingen.
For å vise disse ideene har vi følgende liste over eiendeler som er identifisert basert på risiko og ytelse.
EIENDOMSRISIKO
A 30% 17%
B 30% 53%
C 30% 19%
D 15% 12%
E -2% 12%
F 18% 12%
Tabell 4. Eksempler på stokastisk dominans.
Førstegangs stokastisk dominans.
For å anvende dette kriteriet må det fastsettes et risikonivå. For eiendeler D, E og F er risikonivået 12%, så de blir bestilt nedenfor.
EIENDELER RISIKOPRESTASJON
F 18% 12%
D 15% 12%
E -2% 12%
Tabell 5. Første orden stokastisk dominans.
Eiendom F dominerer eiendel D og E i denne forbindelse.
Andre orden stokastisk dominans.
EIENDELER OPPTAKSRISIKO
A 30% 17%
C 30% 19%
B 30% 53%
Tabell 6. Andreordens stokastisk dominans.
I dette tilfellet dominerer eiendel A eiendeler C og B ved å ha mindre volatilitet gitt et avkastningsnivå. I illustrasjon II er de seks eiendelene. På dette tidspunktet oppstår spørsmålet om preferansen mellom eiendeler A og F. For å svare på dette spørsmålet, er den forventede fortjenesten nødvendig. Hvis den forventede fortjenesten til eiendel A er større enn den forventede fortjenesten til eiendel F, er den valgte eiendelen A. Hvis ikke, velg F.
Illustrasjon 5. Stokastisk dominans med middel- og standardavvik.
3 YTELSE, RISIKO OG KORRELASJON
Opptreden. Som berettiget fordeles avkastningen på eiendeler på en normal måte, så det er nå på tide å bestemme dem basert på aksjekurser, forutsatt at det ikke er utbytte.
La St være prisen på en eiendel på dag t. Så avkastningen på en
eiendel den dagen er Rt = ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠.
Ved å utføre en førsteordens Taylor-tilnærming rundt forrige pris, får vi en annen definisjon for avkastningen, som er den som vurderer prosentvis variasjon.
ln⎜⎜⎛⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠ ≈ ln⎛⎜⎝⎜ SStt −− 11 ⎟⎞⎟⎠ + S1t - 1 SStt −− 11 (St - St - 1) ⇒ Rt ≈ St S - t - S1t -1
Fra et teoretisk synspunkt fører bruken av denne tilnærmingen imidlertid til positive sannsynligheter for negative priser, siden Rt normalt distribueres når
St - St - 1 1⇔ St - St - 1 <−St - 1 ⇔ St <0 fra St-1> 0.
Rt → −∞ ⇒ <-
St - 1
Med bruk av logaritmisk retur lagres denne teoretiske detalj fordi når ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 ⎞⎟⎟⎠ → −∞ ⇒ SSt - t1 → 0 ⇒ St → 0 ⇒ St> 0, så
det er aldri negative priser, da de er lavere enn null.
En annen fordel med logaritmisk avkastning er at de kan legges til ved å lette presentasjonen av den årlige gjennomsnittlige avkastningen. Utbyttet for n perioder er gitt av
ln⎜⎜⎝⎛ SSt - tn ⎞⎟⎟⎠ = ln⎛⎜⎜⎝ SSt - t1 SStt −− 12 SSt - t - nn + 1 ⎟⎞⎟⎠ = ∑kn = - 10 Rt - k
Generelt anses det at et år har 250 dager på aksjemarkedet, så når man har estimatet for gjennomsnittlig daglig avkastning, blir E ganske enkelt multiplisert med dette antall dager for å oppnå den årlige gjennomsnittlige avkastningen.
Fra den parametriske statistikken har vi at den maksimale estimatoren
T
∑R i
sannsynlig for det gjennomsnittlige utbyttet er µ = i = 1 for en prøve av
T-
størrelse T.
Det er tydelig at ytelsen til en eiendel ikke kan være mindre enn –1 og at den ikke har høyere nivåer, men antakelsen om normalitet er fremdeles levedyktig siden det er vanskelig for en eiendel å endre for mye på kort tid.
Standardavvik
Standardavviket indikerer spredningen rundt observasjonenes gjennomsnittlige avkastning og fungerer som en estimator for risikoen som investeringen i en eiendel representerer. Den maksimale plausible estimator for
standardavviket er, men estimatoren som skal
brukes i det følgende er at den er objektiv.
Det er mange metoder for å estimere standardavviket, og blant dem er GARCH-modellene som oppfatter endringer i betinget varians over tid, men den ubetingede variasjonen forblir konstant. Med andre ord, den stokastiske prosessen fulgt av handlingene er ikke stasjonær lokalt, men den er asymptotisk.
For å årliggjøre volatilitet, må kvadratrotregelen vurderes og for å forklare denne ideen, antar at det er T-observasjoner av ytelsen til en eiendel som anses som uavhengig på grunn av effektiv markedsforutsetning.
Hvis R1, R2,…, RT er de uavhengige observasjonene med variansen σ2, er aggregatet av disse variablene utbyttet for en
T-periode på T dager, så variansen av ∑Rt som er summen av
t = 1-variansene av retur individuelt gitt uavhengighet.
Var⎛⎜∑T Rt ⎞⎟ = ∑T Var (Rt) = Tσ2 ⇒ det.est⎜⎛∑T Rt ⎞⎟ = Tσ
⎝ t = 1 ⎠ t = 1 ⎝ t = 1 ⎠
Det vil si at flyktigheten for en periode T er kvadratroten til den perioden av den daglige flyktigheten. For å årliggjøre daglig volatilitet, må den multipliseres med roten på 250, som er antall dager markedet er aktivt.
Kortsalg
For gründere er regelen om å kjøpe lav og selge høy vanlig og nødvendig for et bedrifts levedyktighet. For en porteføljeinvestor, i tillegg til denne regelen, kan følgende oppfylles: selg høyt og kjøp lavt, som kommer fra muligheten for kortsalg.
For en bedre forklaring av dette konseptet, må betydningen av lang posisjon og kort stilling forstås.
Lang stilling. En lang posisjon i en eiendel antas når du satser på at prisen skal øke. En økning i verdien av eiendommen kommer med andre ord til nytte for eieren. På denne måten kjøper eieren billig med håp om å selge dyre.
Som eksempel har du en lang stilling i fremtiden. Hvis kontantprisen på det underliggende på leveringsdatoen er større enn leveringsprisen, vil kjøperen ha oppnådd et overskudd på grunn av økningen i underliggende pris.
Kort stilling. Den korte posisjonen innebærer muligheten for å tjene penger i et synkende marked. Med andre ord drar eieren av kortposisjonen fordel hvis prisen på eiendelen faller og eksemplet er salg av en fremtid.
Kort salg. Et spesielt tilfelle av kort posisjon er short selling. Denne ideen kan forklares fra følgende trinn:
• Lån en eiendel med løfte om å levere den etter en tidsperiode T.
• Ved mottak av eiendelen selges den for et beløp S0.
• Etter termin må eiendelen kjøpes til ST-pris og leveres til den opprinnelige eieren.
Som verdsatt betyr kortsalg salg av en eiendel som ikke eies, og denne operasjonen gir overskudd når prisen på eiendelen synker. Det vil med andre ord ha blitt vunnet da S0> ST og den realiserte fortjenesten er S0 - ST.
Kortsalg innebærer høye risikoer fordi gevinstene er begrenset siden prisen bare kan synke til null mens tapet kan være ubegrenset når prisen har en tendens til uendelig.
Merk at kontantstrømmen for denne operasjonen alltid er negativ siden den er –S0 i begynnelsen og -ST på slutten. Merkelig nok er avkastningen negativ når du har overskudd, siden i dette tilfellet
T ST - S0 0, men siden den første investeringen er –S0, har du
S0> S ⇒ <
S0
positivt overskudd - S0 ST - S0 = S0 - ST> 0.
S0
bør bemerkes at i praksis shortsalg kreve garantier anskaffes av den høye risikoen de representerer. Hvis det i tillegg er en utbetaling av utbytte i den tidsperioden handlingen utføres, må den betales til eieren. Figur 5 viser betaling av et kort salg.
Eksempel på kort salg.
Anta at en økonomisk agent eier 1000 aksjer i utsteder A, som for tiden handler med 25 valutaenheter. Kortsalg eksemplifiseres som følger:
• En investor ber disse aksjene fra agenten med løftet om å levere dem på syv dager.
• Investoren selger aksjene til dagens kurs 25, og skaffer 25 000 monetære enheter som kanskje eller ikke kan investere i andre instrumenter der det vil være lang tid.
• Etter syv dager kjøper investoren 1000 aksjer i Utsteder A til en pris av CU24 og returnerer dem til agenten for å oppnå et overskudd på 1000 CU
4 PORTEFOLIE AV INVESTERINGER
Fra de lange og korte posisjonsdefinisjonene kan en ny porteføljedefinisjon uttales:
Pung. Det er et sett med finansielle instrumenter der du har en posisjon.
Følgende forutsetninger er gyldige fra nå av:
1. Antall stasjoner er begrenset.
2. Det totale antall aksjer til utstedere er konstant.
3. Det er ingen fusjoner eller konkurser.
4. Forhandlingene er kontinuerlige.
5. Det er ingen transaksjonskostnader, skatter eller aksjefordelingsproblemer.
6. Det er ingen utbytte.
Tenk først N instrumenter S1, S2,…, SN med returer
R1, R2,…, RN La wi være
prosentandelen per enhet som er tilordnet eiendelen Si, så det er klart at ∑wi = 1.
i = 1
Å finne det optimale porteføljevalget betyr å finne en kombinasjon av vekter eller vekter slik at de minimerer risikoen gitt et avkastningsnivå. For å gjøre dette, må du først bestemme ytelsen og risikoen for porteføljen. Verdien av wi er også kjent som vekten eller vekten til eiendelen Si.
Utbytte av en portefølje. Avkastningen på en portefølje, angitt av RP, er det veide gjennomsnittet av avkastningen på eiendelene.
RP = w1R1 + w2 R2 +… + wN RN
Forventet avkastning på porteføljen er det veide gjennomsnittet av forventet avkastning på eiendelene.
E = w1E + w2 E +… + wN E
Porteføljerisiko. Risiko estimeres ut fra standardavviket som er kvadratroten til variansen. Variansen av en portefølje inneholder begrepet en matrise av kovarianser aktiva avkastning som har følgende form:
⎡σ12
⎢
cr = ⎢σ21
⎢
⎢
⎢⎣σn1 σ12 σ22
σn2 σ1n ⎤
⎥
σ2n ⎥
⎥
σn2 ⎥⎥⎦
der σi2 er variansen til avkastningen til det i-th eiendel og σij er samvariasjonen mellom eiendelene i, j med i ≠ j.
Basert på ytelsen til porteføljen RP = w1R1 + w2 R2 +… + wN RN, oppnås variansen angitt med σP2.
N
wiwjσij
i = 1 i ≠ j
Variansen til en portefølje kan vises i matriseform og for
⎡ w1 ⎤
⎢ ⎥
defineres den til vektoren W = ⎢w2 ⎥ som inneholder alle vektene til den
aktive
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣wN ⎦
Deretter uttrykkes variansen som følgende kvadratiske form:
σP2 = W / ΣW
Flyktighet er ganske enkelt σP = W / ΣW og følger på samme måte roten til tidsregelen i en periode på T dager σP = TW / ΣW.
Eksempler på avkastning og risiko for en portefølje. For å illustrere disse ideene blir to eiendeler S1 og S2 vurdert med følgende data:
E = 0,15
E = 0,12 σ1 = 0,21⇒12 = 0,0441 σ2 = 0,17 22σ22 = 0,0289 σ12 = 0,01785
w1 = 0,3
w2 = 0,7
Så porteføljeavkastningen er 12,9%
E = w1E + w2E = 0,3 * 0,15 + 0,7 * 0,12 = 0,129
og porteføljens volatilitet er 16,08%
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12 = (0.3) 2 (0.0441) + (0.7) 2 (0.0289) +2 (0.3) (0.7) (0.01785) = 0.025627 σP = 0.1608
Anta nå at du har et begynnelsesbeløp på 1 000 000 CU og at S1-eiendelen er solgt kort, og får ytterligere 3 000 000 CU etter operasjonen, så du har nå 1 300 000 CU som er investert i S2. Så vekten av eiendel S1 er w1 = −300000 = −0.3 som er negativ siden
1000000
dette instrumentet ble lånt og kan sees på som en forpliktelse.
Vekten av S2-eiendelen er w2 = 1.300.000 = 1.3 siden det første beløpet på
1.000.000
pluss beløpet som ble oppnådd fra kortsalget er satt inn.
Det er tydelig at w1 + w2 = −0.3 + 1.3 = 1 og det konkluderes med at et kort salg innebærer en negativ vekt for den eiendelen.
Med disse nye vektene eller vektene er utbyttet 11,1% E = w1E + w2E = −0,3 * 0,15 + 1,3 * 0,12 = 0,111 og standardavviket er 19,71%.
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12 = (- 0.3) 2 (0.0441) + (1.3) 2 (0.0289) + 2 (−0.3) (1.3) (0.01785) = 0.3888 σP = 0.1971
Frem til dette tidspunktet har liten oppmerksomhet blitt viet til samvariasjon mellom markedsmidler, ettersom den bare er blitt nevnt som en del av en formel og ikke som en nøkkelfaktor for god diversifisering. Kovarians og korrelasjon måler eiendomsavhengighet og danner grunnlaget for diversifisering, så det kreves en noe detaljert studie av slike avhengighetstiltak.
Kovarians. Med i, j∈ {1,2,…, la N} Si og Sj være prisene på to eiendeler med avkastning Ri og Rj. Kovariansen mellom eiendelene er definert som σij = E) (Rj - E)] og har egenskapene til et internt produkt, men to egenskaper som er av interesse er angitt:
1. σii = σi2
2. σij = σji slik at matrisen Σ er symmetrisk.
Kovariansens tegn og dens ugyldighet gir informasjon om avhengigheten av eiendelene Si og Sj som indikert:
• σij> 0 Det betyr at når den ene eiendelen i gjennomsnitt gir mer eller mindre enn gjennomsnittlig avkastning, vil den andre ha samme mønster. Med andre ord ledsager Si Sj når sistnevnte verdsetter eller svekker seg.
• σij <0 Det betyr at når den ene eiendelen i gjennomsnitt gir et avkastning som er lavere eller høyere enn gjennomsnittsverdien, vil den andre ha en tilbakevending i hvert tilfelle.
• σij = 0 I dette tilfellet kan det ikke etableres en klar lenke på eiendelene.
T
∑ (Rit - E) (Rjt - E)
Estimatoren for samvariasjonen er σˆij = t = 1 for T
T
observasjoner der Rit er avkastningen på eiendel i på dagen t.
Sammenheng. Kovariansen avhenger av størrelsen på den tilfeldige variabelen, så et standardisert mål er å foretrekke. Et slikt mål for avhengighet finnes i korrelasjonen definert som følger:
σij
ρij = i tillegg −1≤ ρij ≤1 σiσj
For å illustrere viktigheten av korrelasjon, bør du vurdere porteføljen av to eiendeler S1 og S2 med følgende data:
E = 0,12 E = 0,15
σ1 = 0,17 1212 = 0,0289
σ2 = 0,21 ⇒22 = 0,0441
Variansen til porteføljen er σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ12 og fra likheten σ12 = σ1σ2ρ12 oppnås en ny formel for variansen til porteføljen.
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ1σ2ρ12
Hvis vekten av eiendelen og korrelasjonen varieres, oppnås følgende graf:
Illustrasjon 6. Ved å redusere korrelasjonen oppnås bedre avkastning for et risikonivå.
Det observeres at når korrelasjonen avtar, er det mulig å finne bedre avkastning for et risikonivå. Så det er å foretrekke at porteføljene har negativ korrelerte eiendeler.
Det er blitt nevnt at samvariasjon har egenskapene til et indre produkt, og dette gjør korrelasjon til et mål på lineær avhengighet. Den geometriske tolkningen av korrelasjonen kan sees med følgende transformasjoner i formelen
σP2 = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ1σ2ρ12.
a = σP b = w1σ1 c = w2σ2
Så bruker vi kosinusloven for trekanten a, b, c vi har likheten a2 = b2 + c2 - 2bccos (θ) hvorfra det viser seg at cos (θ) = −ρ12 og θ er vinkelen mellom sidene b og c.
Den økonomiske tolkningen er at side a er porteføljens volatilitet og at denne siden vokser med økende korrelasjon. Når korrelasjonen er null, har vi a2 = b2 + c2, som er den Pythagoreiske teorem, og volatiliteten til porteføljen kan sees på som trekantens hypotenuse.
Det bør presiseres at korrelasjonen er et lineært avhengighetsmål, så det har begrensninger når eiendelene har et ikke-lineært forhold, som antydet av følgende eksempel:
La V1 ~ U (-1,1) og V2 = 1 - V12
Det kan bevises at E = 0 og E = 0 slik at σV1V2 = 0 og vi har tilfeldige variabler med null-samvariasjon, men som er relatert på en ikke-lineær måte fordi V12 + V22 = 1.
Variansen til en portefølje som funksjon av vekter
Ved å registrere definisjonene av stokastisk dominans, ble det avledet behovet for å oppnå for en portefølje den laveste risikoen gitt et forventet avkastningsnivå. Da har du et optimaliseringsproblem der målvariabelen er variansen til porteføljen, og du kan ha mange begrensninger som for eksempel forbud mot kortsalg. Det første trinnet i å løse dette optimaliseringsproblemet er studien av varians som en funksjon av aktiva vekter.
N
Variansen til porteføljen er ij som i matriseform
i = 1 i ≠ j
er σP2 = W / ΣW der W er vektoren for vekt og Σ er matrisen for varianser og covariances.
Under antagelsen at inngangene til Σ er konstante, er variansen en funksjon av vekten til eiendelene
σP2 = f (w1, w2,…, wN).
Fra dette tidspunkt er et ytterligere abstraksjonsnivå ønskelig ved å plassere middelavkastningen og eiendelens vekter i vektorer som vist nedenfor sammen med en hjelpevektor.
⎡ E ⎤ ⎡w1 ⎤ ⎡1⎤
⎢E w 1
R = ⎢ ⎥ W = ⎢ ⎥ I = ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣E⎦ ⎣wN ⎦ ⎣1⎦
Basert på de forskjellige strategiske eller juridiske kravene, er det forskjellige optimaliseringsproblemer. Nedenfor er noen av dem.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
Dette problemet søker å minimere risikoen underlagt et gitt ytelsesnivå og begrensningen som vektene eller vektene legger opp til enheten.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
wi ≥ 0 ∀i
I dette problemet er det andre N-begrensninger når kortsalg er forbudt siden et kort salg som kjent innebærer en negativ vekt. Det skal bemerkes at Markowitz lagde porteføljer med korte salg uekte.
Et mer generelt problem er det som tvinger innarbeidelsen av vektene med intervaller definert av myndighetene, slik tilfellet er i Mexico med SIEFORE-porteføljene.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
δi ≤ wi ≤γi ∀i
Det første problemet kan løses ved å bruke Lagrange-multiplikatorene i differensialkalkulusen mens følgende problemer hører til området med ikke-lineær programmering.
I begge tilfeller er det viktig å studere egenskapene til objektivfunksjonen og settet som genererer begrensningene for å bygge en effektiv grense.
Effektiv portefølje.
Når noen av optimaliseringsproblemene beskrevet ovenfor er løst, er en effektiv portefølje blitt bestemt. Med andre ord, for et gitt ytelsesnivå er porteføljen med lavest risiko oppnådd.
Effektiv grense. Når noe optimeringsproblem for porteføljer er løst for alle mulige nivåer av forventet avkastning, danner poengene som genereres den effektive grensen så lenge de har økonomisk betydning.
For enkelhets skyld å forstå ytterligere emner, gis løsningen på problemet som korte salg er tillatt. For å gjøre dette, vises en kort gjennomgang av konveksitetsanalysen, og disse ideene brukes på det nåværende økonomiske problemet.
Konveks analyse
Konveksitet er en vanlig funksjon i optimaliseringsproblemer. Byggingen av den effektive grensen uten risikofri formue innebærer løsningen av to optimaliseringsproblemer, med utgangspunkt i løsningene av slike problemer, og i kraft av teoremet om to fond, som presenteres senere, oppnås en effektiv portefølje. Følgende definisjoner og resultater utgjør den matematiske begrunnelsen for konstruksjonen av den effektive grensen.
Konveks sett. Settet E ⊆ ℜN er konvekst hvis gitt x, y∈E ⇒αx + (1 - α) y∈E med α∈.
Intuitivt er et konvekst sett ett der to punkter blir gitt, segmentet som blir med dem er en delmengde av det.
Punktet αx + (1 - α) y∈E er kjent som den konvekse kombinasjonen og kan generaliseres som α1 × 1 + α2 × 2 +,.., + αnxn ∈ E for n elementer x1, x2,.., xn ∈ E og
n for n skalarer α1, α2,.., αn ≥ 0 slik at ∑αi = 1.
i = 1
Som eksempler på denne typen sett vi har i trekanter, den virkelige linjen og generelt ℜN, men slik er (ℜ + ∪ {0}) N.
Konveks funksjon. En funksjon f: → n → ℜ definert i et konveks sett E er konvekst hvis vi for følgende x, y∈E og α∈ har følgende ulikhet:
f (αx + (1 - α) y) ≤αf (x) + (1 - α) f (y)
Når det gjelder dobbelt differensierbare funksjoner i hele settet E, representerer følgende teorem en alternativ definisjon av en konveks funksjon som vil være tilstrekkelig for målene som forfølges i disse merknadene.
Teorem. La være en funksjon f: RN → R dobbelt differensierbar definert på et konvekst sett. Denne funksjonen er konveks hvis og bare hvis den har en definert semipositiv H (x) hessisk matrise.
N
Eksempel. Porteføljevariasjonsfunksjonen ij
i = 1 i ≠ j er konveks.
Test
∂σ 2
j ij wjσij
∂w ≠ ij = 1
ij
∂2σ2
P = 2σij
∂wj∂wi
Dette betyr at det første derivatet av den kvadratiske formen σP2 = W / ΣW er 2W og det andre derivatet er 2Σ som er en ikke-entall matrise.
Så Hessian av porteføljevariansen er en positiv matrise definert ved å være dobbelt så stor som samvariasjonsmatrisen, så det kan sies at variansen til en portefølje er en strengt funksjon
konveks.
⎡σ12
⎢
H = 2 * ⎢σ21
⎢
⎢
⎢⎣σn1 σ12 σ22
σn2 σ1n
⎤
⎥ σ2n ⎥
⎥
⎥
σn2 ⎥⎦
Teorem. (Unikhet). Gitt følgende optimaliseringsproblem:
min f (x)
sa x ∈ E
Hvor f: →n → ℜ er en strengt konveks funksjon og settet E er konveks, har optimaliseringsproblemet høyst en minimizer.
Demonstrasjon.
Anta at a, b∈E er to forskjellige løsninger, det vil si f (a) = f (b) ≤ f (x) ∀x ∈E siden f er konveks så f (αa + (1- α) b) <αf (a) + (1- α) f (b) = f (a) = f (b)! for α∈ (0,1).
Motsetningen ligger i det faktum at punktet αa + (1- α) b∈ E slik at det ville være en verdi mindre enn minimum.
Fra dette øyeblikk er målet å skape en effektiv grense, og for dette brukes Lagrange-multiplikatorene, siden det allerede er kjent at variansen til en portefølje har unike minimumsnivåer.
Effektiv grense
Som det er bevist, er variansen til en portefølje en strengt konveks funksjon, så å minimere den vil ikke finne tekniske detaljer med løsningene som er funnet så lenge begrensningene danner et konvekst sett.
minσP2 = W / ΣW
sa
W / R = EW / I = 1
Det er praktisk å påpeke at minimering av σP2 tilsvarer minimering av
1σP2, så for å løse dette siste tilfellet,
vurderes to 2 skalarer 11 og λ2 i Lagrange-funksjonen.
L (w1,.., wN, λ1, λ2) = W / ΣW + λ1 (E −W / R) + λ2 (1 - W / I)
Derivatet av den kvadratiske formen er 2ΣW, så når vi trekker funksjonen L med hensyn til dens argumenter og tilsvarer null, har vi:
ΣW = λ1R + λ2 I
E = W / R 1 = W / I
Den første av disse tre siste ligningene viser den generelle formen for den effektive grensen og det viktige tofondsteoremet.
ΣW = λ1R + λ2 I ⇒W = λ1Σ - 1R + λ2Σ - 1I
Interessante sammenhenger oppnås fra løsningen av optimaliseringsproblemet, og for enkelhets skyld blir følgende begrep definert:
A = R / Σ - 1I
B = R / Σ - 1R
C = I / Σ - 1I D = BC - A2
Hvis løsningen multipliseres med venstre med den transponerte avkastningsvektoren og med vektoren I / så har vi det
R / W = λ1R / Σ - 1R + λ2 R / Σ - 1 I I / W = λ1I / Σ - 1R + λ2 I / Σ - 1I
I virkeligheten er det som ble oppnådd et ligningssystem hvis løsninger fører til geometrisk tolkning av den effektive grensen.
Bλ1 + Aλ2 = E hvor λ1 = CE - A og λ2 = B - AE.
Aλ1 + Cλ2 = 1 DD
Multipliserer vi fra venstre med vektoren transponert av vekter til likhet ΣW = λ1R + λ2 I, får vi en identitet for variansen til porteføljen.
W / ΣW = λ1W / R + λ2W / I
CE 2 - AE B - AE
σP2 = λ1E + λ2 = PP + P
DD
CE 2 2AE B
σP2 = P - P +
DDD
Denne siste likhet tilsvarer en parabola i halvvariansplanet. Minimumsnivået for denne funksjonen oppnås gjennom derivatet av variansen med hensyn til gjennomsnittlig ytelse.
g A
2 E =
dσP = 2 CE - A = 0 ⇒ C
dE D σPg2 = 1
C
der det overskriften g indikerer at det er den globale minimumsvariasjonsporteføljen.
Det samme resultatet oppnås med tanke på den effektive grensen som en hyperbola i standardavviket-avkastningsplanet.
2 CE 2 2AED DB CD ⎜⎜⎛E 2 - 2 CA E + CA22 ⎟⎟⎞⎠ + C1 ⇔
σP = - + ⇔
D ⎝
⎛⎜E - A⎞⎟
2
σP ⎝ C ⎠
- = 1
1 D
CC 2
Global minimum variansportefølje
Porteføljen som ligger i toppunktet av parabolen og hyperbola er kombinasjonen av minst risikofylte eiendeler uavhengig av ønsket avkastning.
Ytelsen, variansen og standardavviket til denne porteføljen er:
E g
σPg2 σPg
Vektvektoren
i denne porteføljen vil bli betegnet som W gy og for å bestemme dette må vi finne Lagrange-multiplikatorene som tilsvarer Eg, og de er:
1 Σ - 1I λ1g = 0 λ2g = ⇒W g = fra løsningen W = λ1Σ - 1R + λ2Σ - 1I.
DC
To-fonds teorem. Vektvektorene til to effektive porteføljer kan settes på en slik måte at en effektiv portefølje genereres fra de to første porteføljene. Dette betyr at den effektive grensen kan opprettes fra to fond.
W = αW d + (1 - α) W g
Demonstrasjon.
Effektive porteføljevekter tar formen
W = λ1 - 1R + λ2Σ - 1I
−1 −1
Gjør W d = Σ R og W g = Σ Jeg har at W = λ1 AW d + λ2CW g i
AC
som som allerede observert λ1 A + λ2C = 1.
Å lage α = λ1 A ⇒ 1 - α = λ2C gir ønsket resultat, så enhver vektvektor i en effektiv portefølje er
en lineær kombinasjon av to andre effektive porteføljer. Bruk av teknologien for investeringsportefølje
For å demonstrere teknikken er en portefølje på tre eiendeler designet, og teknikkene utviklet i de foregående avsnitt blir brukt.
Anta at en økonomi med tre risikable eiendeler hvis avkastning og samvariasjonsmatrise er presentert nedenfor:
E = 0,14 ⎡ 0,23 0,02 −0,10⎤ ⎡ 9,71
E = 0,11 Σ = ⎢⎢ 0,02 0,15 0,10 ⎥⎥ 1 - 1 = ⎢⎢− 8,39
E = 0,13 ⎢⎣ - 0,10 0,10 0,17 ⎥⎦ ⎢⎣10,64
- 8,39 10,64 ⎤
⎥ 18.22
−15.65
⎥
−15.65 21.35 ⎥⎦
Det første trinnet er å bestemme konstantene A, B, C og D og deretter bestemme vektorene W d og W g.
A = ⎢⎢− 8.39
⎢⎣10.64 - 8.39 10.64 ⎤⎡1⎤ ⎥⎢
⎥ 18.22
−15.65 1 =
3.1584 ⎥⎢ ⎥15.65 21.35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
B = ⎢⎢− 8.39
⎢⎣10.64 - 8.39 10.64 ⎤⎡0,14⎤
⎥⎢ ⎥
18,22 −15,65 0,11 = 0,4829
⎥⎢ −15,65
21,35 ⎥⎦⎢⎣0,13⎥⎦
C = ⎢⎢− 8,39 18,22
⎢⎣10,64 −15,65 10,64 ⎤⎡1⎤
⎥⎢ ⎥
−15,65 1 = 22.4796
⎥⎢ ⎥
21,35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦
D = BC - A2 = 0,2053
⎡ 9,71 - 8,39 10,64 ⎤⎡0,14
⎤ ⎥⎢ ⎥ - 8,39 18,22 −15,65 0,11
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ 0,5761 ⎤
d ⎢⎣10,64 - 15,65 21,35 ⎥⎦⎢⎣0,13⎥⎦ ⎢ ⎥
W = = −0,3816
A ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0,8055 ⎥⎦
⎡ 9,71 - 8,39
⎢
- 8,39 18,22
⎢
g ⎢⎣10,64 −15,65
W =
C
Observasjoner:
10,64
⎤⎡1⎤ ⎥⎢
⎥15,65 1
⎥⎢ ⎥ ⎡ 0,5321 ⎤
21,35 ⎥⎦⎢⎣1⎥⎦ ⎢ ⎥
= −0,2591
⎢ ⎥
⎢⎣ 0.7270 ⎥⎦
• w1g + w2g + w3g = 0.5321−0.2591 + 0.7270 = 1.
• Eiendom 2 selges kort og inntektene fra denne operasjonen sendes til eiendel 1 og 3.
Minimumsavkastningen og minste varians uavhengig av forventet avkastning i porteføljen er:
σPg2 = ⎢⎢ 0,02
⎢⎣ - 0,10 0,02
0,15
0,10 −0,10⎤⎡ 0,5321
⎤ ⎥⎢
0,10 −0,2591 = 0,0445
⎥⎢ ⎥
0,17 ⎥⎦⎢⎣ 0,77070 ⎥⎦
Paret (σPg, RPg) = (0.2110, 0.1405) er det første punktet på den effektive grensen.
Ved å bruke to-fonds teorem er den effektive grensen konstruert av den følgende lineære kombinasjonen som vist i illustrasjon 7:
⎡ 0,5761 ⎤ ⎡ 0,5321 ⎤
Wα = α⎢ - 0.3816⎥ + (1 - α) ⎢ - 0.2591⎥ α∈ℜ
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 0.8055 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.7270 ⎥⎦
Illustrasjon 7. Den effektive grensen er en hyperbola i flyktigheten-avkastningsplanet.
Forventet overskudd og effektive porteføljer
For å vite hvilken effektiv grenseportefølje som bør vurderes når man investerer, brukes likegyldighetskurvene til forventet fortjeneste.
Poenget med tangens mellom en eller annen likegyldighetskurve og den effektive grensen vil være det som individet stokastisk vil dominere de andre og vil være individets beste valg.
Slik er det forventede verktøyet som tillater beslutninger mellom effektive investeringsporteføljer, og den første delen av dette materialet er berettiget. Den samme prosessen blir funnet når du bygger kapitalmarkedslinjen i de følgende avsnitt.
Forutsetningen om Gauss-retur gir enkeltpersoner mulighet til å ha forskjellige nyttefunksjoner og derfor forskjellige poeng med tangens med den effektive grensen. Nok en gang er denne situasjonen av stor betydning i likevektsmodeller, slik som CAPM vil forstå.
Illustrasjon 8. Porteføljen er valgt tangent til en viss likegyldighetskurve for det forventede resultatet.
Inkludering av risikofri eiendeler
Fram til dette har bare risikable eiendeler blitt behandlet som aksjer, men en risikofri eiendel som T-regning, en bankkonto eller Cetes de México kan være inkludert.
Den risikofrie eiendelen er betegnet med S0, så det er nå N + 1 instrumenter. Denne risikofri eiendelen gir en kjent RL-avkastning.
Med inkluderingen av denne eiendelen er det av interesse å vite om det er endringer i den effektive grensen, siden du nå kan opprette en portefølje med en portefølje av risikable eiendeler og en risikofri eiendel.
Svaret på denne bekymringen oppnås ved å løse et nytt optimaliseringsproblem. Den ekstra forutsetningen er gjort at du kan låne og låne til den risikofrie renten.
E - RL maxTan (θ) = σP
For å bestemme den effektive grensen med risikable eiendeler og med risikofri rente, må vi maksimere tangenten til vinkelen som er dannet av linjen som blir med i risikofri rente og enhver portefølje av risikable eiendeler.
N
∑wi (E - RL)
Tan (θ) = i = 1 dette uttrykket er avledet med hensyn til wi
NN
∑∑wi wjσij
i = = 1 j 1
og tilsvarer da null.
NN
∑wi (E - RL) ∑wjσij
i = 1 j = 1
= 2 = 0 ⇒
∂wi σP
NN
∑wi (E - RL) ∑wjσij
i = 1 2 j = 1 = E - RL
σP
N
∑wi (E - RL) N ξ = i = 1 2 ⇒ ∑ξwjσij = E - RL ∀i
σP j = 1
Hvis vj = ξwj er gjort, kan systemet uttrykkes som lett løses som observert.
⎡σ12 σ12
⎢ 2
⎢σ21 σ2 ⎢
⎢
⎢⎣σN1 σN2
σ1N ⎤⎡v1 ⎤ ⎡ E - RL ⎤
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ2N ⎥⎢v2 ⎥ = ⎢ E - RL ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σN ⎥⎦⎣vN ⎦ ⎣ E - RL ⎦
Verdiene oppnådd fra løsningen av dette systemet kan imidlertid ikke betraktes som vekter eller vekter, så de må normaliseres for å oppnå vektene til WM-markedsporteføljen med innganger wiM = Nvi ⇒ N.
∑vi i = 1
i = 1
Fra disse prosentene bestemmes volatiliteten σM og gjennomsnittlig avkastning i markedet E, og deretter konstrueres kapitalmarkedslinjen (LMC) sammen med risikofri rente.
Helling for LMC er E - RL og ligningen i prikk- og σM hellingform
er E = RL + E - RL σP. σM
Bunnsetning
All portefølje i kapitalmarkedslinjen er bygd fra en lineær kombinasjon mellom markedsporteføljen og den risikofri eiendelen.
Demonstrasjon.
Dette resultatet oppnås ved å løse optimaliseringsproblemet ved hjelp av Lagrange-multiplikatorer.
minσP2 = W / ΣW
s ~.a. ~ hvor W ~ = ⎡w0 ⎤ R ~ = ⎡⎢RL ⎥⎤ ~ I = ⎡⎢1⎤⎥
⎢ ⎥
W / R = E ⎣W ⎦ ⎣ R ⎦ ⎣I⎦
W ~ / ~ I = 1
Basert på disse vektorene oppnås følgende
likhet: ΣW = λ1R + λ2 I −λ2 −λ1RL = 0
Ved å bruke matematiske triks får vi at hver vektor i CML er av formen
⎡1⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
W ~ = α⎢0⎥ + (1 - α) ⎢w1M ⎥ α∈ℜ
⎢⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ M ⎥
⎣0⎦ ⎣wN ⎦
Figur 9 viser kombinasjonen av 10% risikofri rente og de effektive grenseporteføljene i tre-aktiva-økonomien beskrevet ovenfor. Resultatet er Capital Market Line (LMC).
Forutsatt at de samme dataene for økonomien til tre eiendeler tillegges, legges en risikofri rente på 10% til, og CML bestemmes som observert.
⎡ 0.23 0,02 −0,10⎤⎡v1 ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥
0,02 0,15 0,10 v2 ⎥
⎢ ⎥⎢
0.1 - 0,10 0,10 0,17 7v3 ⎥⎦
⎡0,14 −0,10⎤ ⎡v1 ⎤ ⎡ 0,6237 ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = 0.11−0.10 ⇒ v2 ⎥ = ⎢ - 0.6230⎥
⎢ ⎥
⎢0.13 −0.10⎥⎦ ⎢⎣v3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.9098 ⎥⎦
Som det kan sees v1 + v2 + v3 = 0.6237 −0.6230 +0.9098 = 0,9105 ≠ 1, så det er normalisert å få vektene til markedsporteføljen og derved løse problemet.
w1M == 0.6850 w2M == −0.6842 og w3M == 0.9992.
Basert på disse vektene
oppnås markedsresultatet E = 0,14 * 0,6850 +0,11 * (- 0,6842) + 0,13 * 0,9992 = 0,1505 sammen med volatiliteten σM = 0,2356. Kapitalmarkedslinjen har følgende ligning RP = 0,10 + 0. σP.
Illustrasjon 9. Den risikofrie eiendelen gir kapitalmarkedslinjen.
5 KAPITALVÆRDEMODULERINGSMODELL (CAPM)
Verdsettelsesmodellen for formue (heretter CAPM) søker å forklare ytelsen til en eiendel med tanke på markedsrisiko, blant annet med tanke på at investorer i økonomien utgjør sine porteføljer i henhold til moderne porteføljeteori og som har homogene forventninger.
Begrensninger i diversifisering.
Diversifisering er veldig nyttig for å redusere risikoen for en investeringsportefølje. Imidlertid er denne risikobehandlingsmekanismen begrenset som det kan sees ved konstruksjon av følgende portefølje: Anta at et sett med N risikable eiendeler slik at de parvis har den gjennomsnittlige samvariasjonskravet som antas å være positiv, variansen til hver eiendel er den samme for alle, og vekten av den eiendelen er 1 = wi. Så variansen til denne porteføljen er
N
konstant på grensen.
2 N ⎛ 1 ⎞ 2 2 1 1 ⎛ 1 ⎞ 2 N 2 2 σ 2 ⎛ 1 ⎞
σ N = ∑i = 1 ⎜⎝ N ⎟⎠ σ + 2∑i ≠ j NN cov m = ⎝⎜ N ⎟⎠ ∑ i = 1 σ + N 2 ∑i ≠ j cov m = N + ⎜⎝1 - N ⎠⎟ cov m
σ 2 ⎛ 1 ⎞
+ ⎜1 - ⎟ cov m = cov m
N ⎝ N ⎠
Dette betyr at jo større antall eiendeler variasjonen i porteføljen avtar, men diversifiseringen er begrenset slik at det alltid er risiko uavhengig av antall eiendeler i en portefølje av risikable eiendeler. Denne observasjonen gir opphav til følgende definisjoner av risiko:
Diversifiserbar risiko.
Det er en som potensielt blir eliminert ved diversifisering og kommer fra de spesielle egenskapene til en stasjon. Det er viktig å merke seg at markedsporteføljen har størst mulig diversifisering, slik at den gjenværende risikoen gir systematisk risiko.
Systematisk risiko.
Det er den diversifiseringen ikke kan eliminere fordi den stammer fra faktorer som påvirker hele økonomien, for eksempel politiske endringer.
Illustrasjon 10. Diversifiserbar risiko og systematisk risiko.
Da er instrumentets totale eller spesifikke risiko lik summen av den diversifiserbare risikoen pluss den systematiske risikoen.
Total risiko = Diversifiserbar risiko + Systematisk risiko.
I en økonomi der investorer bruker diversifisering for å forme porteføljene sine, må finansielle eiendeler bare betale et differensial for systematisk risiko, siden diversifisering har blitt presset til grensen.
CAPM kobler den systematiske risikopremien på en finansiell eiendel og premien til markedsporteføljen gjennom et lineært forhold. En generalisering til denne modellen finnes i Arbitrage Pricing Theory. I de følgende avsnitt vises to avledninger av CAPM i tillegg til behandlingen av inflasjon, avgifter, forbruk og Single Index Model (MIU) som et alternativ for konstruksjon av den effektive grensen.
CAPM-forutsetninger
• Investorer bestemmer basert på halvvarianskriteriet med normalt distribuert avkastning.
• Investorer har samme tidshorisont.
• Investorer har homogene forventninger til avkastning av eiendeler, noe som betyr at de ser den samme effektive grensen.
• Markedet er effektivt.
• Det er et risikofritt instrument til kurs som investorer kan låne og låne ubegrensede beløp. • Markedet er perfekt
Noen av disse forutsetningene kan svekkes for å få utvidelser av CAPM, men blant dem alle er den som refererer til homogeniteten i forventningene til avkastningen på eiendeler grunnleggende fordi det muliggjør effektiviteten i markedsporteføljen.
Avledning av CAPM
Vurdere M-deltakere i kapitalmarkedet. La Xi være den opprinnelige formuen til den i-de investoren i = 1,2,…, M.
Den økonomiske likevekten oppnås når tilbudet og etterspørselen til en eller annen tilfredsstillende er lik. CAPM er en likevektsmodell fordi den vurderer denne situasjonen. I denne modellen er etterspørsel den vektede summen av alle porteføljer som tilhører M-investorene, mens tilbudet sees i markedsporteføljen.
Kreve
La Wi være vektvektoren i porteføljen til den i-de investoren
M, da er W ~ D = X1 ∑i = 1 X iW ~ i vektvektoren for
total etterspørsel M med X = ∑ X i.
i = 1
Basert på et
fondsteorem, har vi at vektoren til M ⎡1⎡ M ⎡ 0 ⎤
total etterspørsel er W ~ D = i = 1
X 0
⎢ ⎥ + i = 1
⎢⎥
⎢ ⎥
⎣ 0⎦
X w
⎢ 1 ⎥.
⎢ ⎥
⎢ M ⎥
⎣wN ⎦
MMM
∑ X iαi ⎢ ⎥ ∑ (1 - αi) X i ⎢ M ⎥
∑ X iαi ∑ (1 - αi) X i ∑ X iαi
Også i = 1 + i = 1 = 1, derfor, når αD = i = 1, har vi
XXX
at vektoren av totale etterspørselsvekter tilhører CML.
For WD-vektoren brukes følgende likheter for å oppnå verdien av den første Lagrange-multiplikatoren.
ΣW D = λ1R + λ2 I
−λ2 −λ1RL = 0
ΣW D = λ1 (R - RL I)
WD / ΣW D = λ1 (E - RL)
ΣW DR - RL I
=
D / D
W ΣW E - RL
By på
Det totale tilbudet er gitt av WM-porteføljen.
Likevekten
Likevekten oppnås når WM = WD, slik at CAPM oppnås fra likeverd for hele økonomien.
ΣW MR - RI
WD = WM ⇒ M / M = L
W ΣW E - RL ⎡β1 ⎤ ⎡RL ⎤ ⎡ E ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ β RE
⇔ ⎢ 2 ⎥ (E - RL) + ⎢ L ⎥ = ⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣βN ⎦ ⎣RL ⎦ ⎣E⎦
Den i-de inngangen til vektoren ΣWD er samvariasjonen mellom utbyttet Ri og markedsutbyttet RM og βi = cov (Ri2, RM).
σM
Betaen og applikasjonene
Beta til en eiendel er et systematisk mål på risiko og hjelper til med å vise følsomheten for markedsrisiko for en aksje.
Hvis betaen til en eiendel er større enn enhet, vil avkastningen på den eiendelen i gjennomsnitt vise en økning eller nedgang mer enn proporsjonal med markedsporteføljen.
Når betaen til eiendelen er mindre enn enhet, vil avkastningen på eiendelen følge den på en måte som er mindre enn proporsjonal med resultatene i markedsporteføljen.
I tilfelle eiendelen har enhets beta, vil avkastningen på eiendelen i gjennomsnitt bevege seg i samme andel som markedsporteføljen.
For å estimere betaen krever du ytelsen til markedsporteføljen. Det siste kan ikke bestemmes nøyaktig, men det er proxy-variabler som lar den simuleres. Nevnte fullmaktsvariabler er aksjeindeksene som S&P 500 i USA, og i det meksikanske tilfellet er det pris- og noteringsindeksen på den meksikanske børsen som inkluderer en gruppe på rundt 35 aksjer, ratifisert eller erstattet hvert år, med vekter som varierer i sanntid.
Når en omtrentlig markedsportefølje er oppnådd, kan beta bestemmes ut fra dens definisjon eller gjennom en lineær regresjon der det anses at ytelsen til en eiendel avhenger lineært av resultatene til markedsporteføljen..
CAPM finner virkelige applikasjoner for å bestemme et firmas kapitalkostnader. WACC (vektede gjennomsnittlige kapitalkostnader) er det veide gjennomsnittet av kostnaden for egenkapital og kapitalkostnaden for finansiell gjeld.
fra
WACC = Kd + Ke d + ed + e hvor
Kd er kapitalkostnaden for finansiell gjeld Ke er kostnaden for egenkapital
d er markedsverdien på finansiell gjeld
e er markedsverdien på firmaets egenkapital
Spesielt tjener betaen til å estimere kostnadene for egen kapital Ke, som i det meksikanske tilfellet har følgende form:
Ke = RL + β (E-RL) * RVA + Rsm + RP
Hvor
RL er satsen som 30-årige statskasseveksler betaler β bestemmes i forhold til S&P 500-indeksen
E er gjennomsnittlig avkastning på S&P 500
RVA er en justering for en investering utenfor USAs miljø
Rsm er en premie å vurdere På grunn av størrelsen på
RP- firmaet er det landsrisikoen for de meksikanske euro-obligasjonene
CAPM er en modell som har utvidelser og kritikk av de meget restriktive hypotesene den bruker, siden som det har blitt sett i kostnadene for egenkapital, må justeringer gjøres til den teoretiske CAPM. Imidlertid er modellen fortsatt i kraft.
BLINDTARM
Normalfordelingen
Den tilfeldige variabelen X sies å følge en normalfordeling med henholdsvis beliggenhet og skaleringsparametere µ og σ hvis tetthetsfunksjonen har følgende form
(µ) 2
n
- ∞ <µ <∞ σ> 0
Når X har en normal fordeling med sine respektive parametere, betegnes det som X ~ N (µ, σ).
Hvis transformasjonen Z = X −μ utføres, oppnås det at Z ~ N (0,1) og Z er
kjent som standardnormen. Hvis vi har Z, fører transformasjonen X = σZ + µ til den opprinnelige normale X.
For enkelhets skyld blir variabelen Z deretter brukt til å oppnå resultater på en hvilken som helst normalvariabel X.
Teorem. La Z ~ N (0,1). Så alle øyeblikkene til denne variabelen er endelige.
PD E <∞ ∀n∈ N
Demonstrasjon.
z22
E - z -ne− 2 dz ze dz
z2
Hvis endringen av variabelen y = blir gjort, oppnås følgende uttrykk
2
der Γ betegner rekkefunksjonen.
nn
E = 22 ∞∫ og n2−1e - ydy = 2π2 Γ⎜⎛⎝ n2 + 1⎞⎟⎠ <∞
π 0
Resultat 1. Hvis n er merkelig, er E = 0.
2
E ze dz = 0
z2
Dette er fordi f (z) = zne− 2 er en merkelig funksjon.
Resultat 2. Hvis n er jevn, er E = 1⋅3⋅5⋅… ⋅ (n −1)
n 2
E = −∫∞zeye - ydy = 2π2 Γ⎛⎜⎝n2 + 1⎞⎟⎠
2π
Ved induksjon på k ∈ N slik at n = 2k er det bevist at
2 k Γ⎛⎜ k + 1 ⎞⎟ = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅… ⋅ (2k - 1) π ⎝ 2 ⎠
Når det er oppnådd resultater for standardnormalen, er det mulig å finne andre resultater for enhver normal.
La mn = E og X ~ N (µ, σ).
Hvis vi husker at Z = X −µ så er mn = E = E⎡⎢ (X −nµ) n ⎥⎤. σ ⎣ σ ⎦
Verdiene til m3 og m4 er av interesse fordi de fører til verdiene av skjevhet og kurtose av en hvilken som helst normal.
Spesielt tilfelle n = 3
For resultatet 1 m3 = 0 = E⎡⎢ (X −3µ) 3 ⎤⎥ ⇒ k3 = E = 0 og derfor har
⎣ σ ⎦ σ
et annet resultat:
Resultat 3. Skjevheten k3 til enhver normal tilfeldig variabel er null.
Spesielt tilfelle n = 4
Ved resultatet 2 m4 = 3⋅1 = E⎡⎢ (X −4µ) 4 ⎤⎥ ⇒ k4 = E = 3 fører dette
⎣ σ ⎦ σ
til et annet viktig resultat i studien av økonomiske tidsserier.
Resultat 4. Kurtosen til enhver normal tilfeldig variabel er lik tre.
Fra likhet X = σZ + µ har vi at X n = (σZ + µ) ny basert på Newtons binomial
(σZ + µ) n = ∑j = n0 C njσ n− j Z n− jµ j hvor C nj = (n −n! j)! j!
Så har vi følgende resultat:
Resultat 5. Det niende øyeblikket av en normal tilfeldig variabel er en funksjon av verdiene til gjennomsnittlig µ og standardavviket σ. Med andre ord, ethvert moment større enn det andre av en normal tilfeldig variabel avhenger bare av de to første øyeblikkene.
PD E = f (µ, σ)
Demonstrasjon
n
Hvis uttrykket n− j Z n− jµj
j = 0 blir tatt som håp,
gir lineariteten til uttrykket det ønskede resultatet.
nn
E (n− jmn− jµ) = f (µ, σ)
j = 0 j = 0
Dette femte resultatet er kritisk når du kombinerer ideer om verktøy og avkastningsfunksjoner som normalt distribueres.
MARKETS
PERFEKT MARKED
Et kapitalmarked er perfekt når følgende forhold er sanne:
• Markedet er friksjonsfritt; det vil si at det ikke er transaksjonskostnader eller -skatter, alle eiendeler er perfekt delbare og likvide, og det er ingen juridiske begrensninger.
• Det er perfekt konkurranse i varemarkedet og aksjemarkedene.
• Informasjon mottas av alle individer og er gratis.
• Enkeltpersoner er rasjonelle og prøver å maksimere forventet nytteverdi.
EFFEKTIV MARKED
Et effektivt kapitalmarked tillater overføring av eiendeler med et lite tap av formue, og det er grunnen til at det er integrert i effektivitetsbegrepet i Pareto-forstand. Et marked er av denne typen når prisene på finansielle eiendeler som er kommersialisert i det reflekterer all tilgjengelig informasjon og derfor er rimelige priser.
Det er tre former for effektivitet:
1. Svak form for effektivitet. I dette tilfellet kan ingen personer tjene ekstraordinære overskudd ved å følge investeringsstrategier basert på historisk prisinformasjon. Med andre ord, rabatter på tidligere informasjon.
2. Halvsterk form for effektivitet. I denne formen for effektivitet oppnår ingen investorer ekstraordinær avkastning gjennom regler generert fra offentlig tilgjengelig informasjon, så prisene sies å redusere den offentlige informasjonen.
3. Sterk form for effektivitet. I denne typen effektivitet kan ingen enkeltpersoner tjene avkastning over markedet for informasjon. Så prisene gjenspeiler all informasjon.
REFERANSER
- Copeland & Weston. (1988). Finansiell teori og selskapspolitikk. Addison Wesley Elton, Edwin J., Gruber Martin J. (1995). Moderne porteføljeteori og investeringsanalyse. John Wiley & Sons Heyman, Timothy. (1998). Investering i globalisering. IMEF, Milenio, IMCP, ITAM og BMV.
